Математический пример.

Возьмем событие А0, определенное выше и предположим, что колода К содержит дубликаты. Тогда для некоторых отрезков разбиения Кi, такие же как и в Кi карты будут содержаться также в дубликатах даного отрезка. Таким образом, пары карт, тождественных с некоторыми картами из Кi, будут распределены по колоде К не совсем произвольно. А именно, они будут «собираться» в дискретно расположенной серии дубликатов отрезка Кi.

Значит и разнесение этих пар будет особенно часто принимать значения либо близкие к нулю, либо равные сдвигам между дубликатами этой серии в колоде К. Поскольку условие А0 существенно ограничивает выбор пар карт – рассматриваются лишь те, которые (сами или тождественные им) хоть раз попали в один и тот же отрезок разбиения колоды К, – то описанная ситуация с дубликатами будет довольно типичной для ограниченного таким образом множества пар.

Это изменит распределение случайной величины з (по сравнению с ее распределением на множестве всех пар) и заставит ее чаще принимать те значения, которые характерны для расстояний между дубликатами в К. Таким образом, условное распределение з при условии А0 будет существенно отличаться от ее безусловного распределения.

Сформулированное следствие позволяет проверять гипотезу Н0 в конкретных хрониках. Более того, анализ условных распределений вида Pз = x|A с различными локальными событиями А дает возможность определить величины сдвигов между дубликатами в К.

В главе 1 было введено понятие хронологического списка имен, снабженного разбиением на главы и приведены примеры реальных хронологических списков. В настоящем разделе мы рассмотрим задачу проверки гипотезы Н_0 о том, что хронология того или иного хронологического списка имен является правильной.

Уточним понятие правильного списка по сравнению с определением, данным в главе 1. А именно, будем называть хронологию списка имен Х правильной, если список не является результатом размножения и последующего «поблочного тасования» (склейки со сдвигом и локального перемешивания) некоторого другого, более короткого списка Y. В противном случае будем говорить, что список Х содержит дубликаты. Под дубликатами понимаются первоначально одинаковые (при тасовании они могут быть искажены) отрезки различных экземпляров списка Y, содержащиеся в Х (см рис. 17).

Также как и в модельной задаче, мы допускаем возможность случайных искажений каждого из экземпляров списка Y, лежащих в основе списка Х, однако предполагаем, что локальные искажения в удаленных друг от друга частях списков взаимно независимы.

Следуя описанной в предыдущем разделе методике, рассмотрим вероятностную схему случайного равновероятного выбора с возвращением двух имен из списка Х и определим случайную величину з – разнесение выбранной пары имен.

Напомним обозначения характеристик списка Х: n – общее число имен в списке Х (с учетом кратности их вхождения в список); m – число различных имен списка Х;

N – число глав списка Х.

Имена списка Х мы будем обозначать буквами a_i, где индекс указывает на порядковый номер данного имени в списке:

X = a_1, a_2,…, a_N.

Обозначим через I множество различных имен списка Х. Это множество состоит из m имен (m « x « N).

Здесь x – целое. Для остальных целых x соответствующая вероятность равна нулю.

Таким образом, для всех списков Х с главами постоянного объема функция f1 одна и та же – это линейно убывающая в промежутке от 1 до N-1 функция.

Доказательство.

Поскольку случайная величина з определяется по номерам глав, содержащих выбранные имена, то можно считать, что выбираются не сами имена, а главы. Так как объем глав по предположению постоянен, то выбор любой главы на первом шаге осуществляется с одинаковой вероятностью равной 1/N. То же верно и для второго шага выбора.

Рассмотрим сначала случай 1 « x « N. В этом случае существует ровно N – x возможностей фиксировать главу с меньшим номером в паре глав, разнесенных на расстояние x в списке. Вторая глава в этой паре имеет номер на x больший, чем первая и этим определяется (по первой) однозначно. Учитывая, что глава с меньшим номером может появиться как на первом, так и на втором шаге выбора, получаем, что общее количество возможностей выбрать пару глав, разнесенных на расстояние x (с учетом порядка выбора), равно 2(N – x). Вероятность выбрать наперед заданную пару глав с учетом порядка выбора равна 1/N^2. Следовательно, по формуле полной вероятности, Pз = x = 2(N-x^2)/N.